FUNGSI

Pengertian Fungsi
Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.
f:X→Y
Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika x∈X, maka y∈Y yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={y∈Y : y=f(x)∀x∈X}. Dalam istilah lain, x∈X disebut variabel bebas dan y∈Y disebut variabel tak bebas.
Definisi Fungsi Formal
Misalnya f:X→Y, f adalah fungsi jika dan hanya jika ∀x1,x2∈X, x1=x2⇒f(x1)=f(x2).
Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.
Notasi Fungsi
Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x)=x3−4 maka f(1)=13−4=−3.
Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.
Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.
Sumber : matematikakubisa.info
Macam – macam Fungsi

• MACAM-MACAM FUNGSI

1. Menurut Sifatnya
2. Fungsi Ke dalam (Into)

Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut fungsi satu-satu jika setiap anggota A mempunyai bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua anggota A yang mempunyai bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2 atau jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).

2. Fungsi Kepada (Surjektif)

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B ada x A sehingga f(x) = y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif dari A ke B.

1. Menurut Jenis dan Fungsinya
2. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).

• Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat . fungsi rasional meliputi :

• Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya
f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +…..+ a₂x² + a₁x + a₀
 dengan  a_n ≠ 0
a₀ = suku tetap
a_n , a_n-1 , …..a, a₀ = bilangan real
contoh fungi polinom : 2x³+ 4x² +6x-5
5x² + 4x -8       dst

• Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.
Bentuknya f(x) = ax³ + bx² +cx + d
dengan a≠ 0
Contohnya fungsi kubik : x³ + 2x² + 5x +6

• Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.
Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0
Contoh dari fungsi linear: y = x+3
Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1 ,0)
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0, y1)
3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

Contoh soal:
Buatlah grafik dari persaamaan y = x + 3
Penyelesaiannya
Pertama kita tentukan titik perpotongan pada kedua sumbu:

• Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = x + 3
y = 0 + 3
y = 3

• Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = x + 3
0 = x + 3
x = -3

• Kemudian kita tarik garis lurus dari titik koordinat tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut:

Soal Fungsi Linear:
Gambarlah grafik fungsi linear berikut ini :

1. F(x) = 2x + 5
2. F(x) = 7 – 2x
3. F(x) = 3x – 15

Jawab:

1. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 2x + 5
y = 0 + 5
y = 5 …………. (0,5)
Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:
y = 2x + 5
0 = 2x + 5
x = 2,5…………(2.5,0)

2. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 7 – 2x
y = 7 – 2(0)
y = 7………………..(0,7)
Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:
y = 7 – 2x
0 = 7 – 2x
x = 3,5……………..(3.5,0)
Grafiknya:


(0,7)



(3.5,0)

3. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 3x – 15
y = 3(0) – 15
y = 15……………..(0,15)
Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:
y = 3x – 15
0 = 3x – 15
x = 5……………….(5,0)

• Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berpangkat dua.
Sifat sifat grafik fungsi kuadrat:

1. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil)
2. Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum. (Titik puncaknya mempunyai niai terbesar)
3. Jika D merupakan deskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, maka:

• Jika D > 0, maka grafik y = f (x) memotong sumbu x pada sua titik yang berbeda
• Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung sumbu x pada suatu titik.
• Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak memotong sumbu x.

1. Bentuknya f(x) = ax² + bx + c

Dengan  a, b, c merupakan konstanta a≠ 0
Contoh :  4x²+6x +5
Grafik persamaanya  y = ax²  + bx + c berbentuk parabola.

1. Langkah-langkah melukis grafik fungsi kuadrat:

• Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat (x1, 0)
• Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat (0, y1)
• Menentukan titik puncak (xp,yp)

Xp = -b/2a                   Yp = D/-4a
Keterangan: Xp = Persamaan sumbu simetri
Yp = nilai maksimum atau minimum
D = Deskriminan (b ²-4ac)

• Kemudian hubungkan titik-titik koordinat tersebut sehingga membentuk grafik parabola.

Contoh soal:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x²-4x-5
Jawaban:

1. Titik potong sumbu x,y=0

y = x² – 4x – 5    =>   0 = (x – 5) ( x + 1), x = -1 dan 5
0 = x² – 4x – 5
Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

1. Titik potong sumbu y,x = 0

y = x² – 4x  – 5
y = (0)² – 4(0) – 5
y = -5
Maka titik potong sumbu y adalah (0,-5)

1. Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(-4)/2.1
= 2

1. Nilai maks/ min b² – 4ac / -4a

= {(-4)² – 4.(1).(-5) / -4 (1)}
= 36 / -4
= -9

1. Titik puncak {(-b/2a), (b² – 4ac/-4a)} = (2,-9)

1. Maka grafiknya:

Soal Fungsi Kuadrat:

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3
2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 12 + 4x – x²
3. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2x² + 4x – 6

Jawaban:

1. Titik potong sumbu x,y=0

y = x² – 4x + 3    =>   0 = (x – 1) (x – 3), x = 1 dan 3
0 = x² – 4x + 3
Titik potong sumbu x (1,0) dan (3,0)

Titik potong sumbu y,x = 0
y = x² – 4x + 3
y = (0)² – 4(0) + 3
y = 3
Maka titik potong sumbu y adalah (0,3)

Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(-4)/2.1
= 2

Nilai maks/ min b² – 4ac / -4a
= {(-4)² – 4.(1).(3) / -4 (1)}
= 16 – 12 / -4
= -1

Titik puncak {(-b/2a), (b² – 4ac/-4a)} = (2,-1)

Maka grafiknya:

2. Titik potong sumbu x,y=0

y = -12 + 4x – x²    =>   0 = (6 + x) (-2 + x), x = -6 dan 2
0 = -12 + 4x – x²
Titik potong sumbu x (-6,0) dan (2,0)

Titik potong sumbu y,x = 0
y = -12 + 4x – x²
y = -12 + 4(0) – (0)²
y = -12
Maka titik potong sumbu y adalah (0,-12)

Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(4)/2.1
= -2

Nilai maks/ min b² – 4ac / -4a
= {(4)² – 4.(1).(-12) / -4 (1)}
= 16 + 48 / -4
= -16

Titik puncak {(-b/2a), (b² – 4ac/-4a)} = (-2,-16)

3. Titik potong sumbu x,y=0

y = 2x² + 4x – 6    =>   0 = (2x – 2) (x + 3), x = 1 dan 3
0 = 2x² + 4x – 6
Titik potong sumbu x (1,0) dan (-3,0)

Titik potong sumbu y,x = 0
y = 2x² + 4x – 6
y = 2(0)² + 4(0) – 6
y = -6
Maka titik potong sumbu y adalah (0,-6)

Persamaan sumbu simetri –b/2a
= -(4)/2.2
= -1

Nilai maks/ min b² – 4ac / -4a
= {(4)² – 4.(2).(-6) / -4 (2)}
= 16 + 48 / -8
= -8

Titik puncak {(-b/2a), (b² – 4ac/-4a)} = (-1,-8)

• Fungsi Pecahan

Bentuk umum fungsi pecahan adalah
Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah fungsi pecahan linear dan fungsi pecahan kuadrat.

1. Fungsi pecahan linear

1. Funsi pecahan kuadrat

dan

• Fungsi Irrasional

Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel bebasnya terdapat di bawah tanda akar. Contohnya    y =

2. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

• Fungsi Goneometri

Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12

• Fungsi Eksponen

Contoh: f(x) = 12^x

• Fungsi Logaritma

Contoh: f(x) = 5log3x

• Fungsi Siklometa

Contoh: f(x) = arc sin x

3. Fungsi Mutlak

Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak suatu bilangan real x,dinyatakan dengan |x|,didefinisikan sebagai
|x| =

4. Fungsi dengan Parameter

Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang disajikan dengan sepasang persamaan : dengan t suatu parameter, maka untuk memperoleh dari sistem persamaan tersebut adalah dengan diasumsikan y sebegai fungsi komposisi

1. Menurut Letak Variabelnya
2. Fungsi Implisit

Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisit perbedaan antar variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x + 4y

2. Fungsi Eksplisit

Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan aturan y=f(x) yang memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu unsur di daerah nilainya. Contohnya: y = 2x-5

1. Fungsi-Fungsi Khusus
2. Fungsi Identitas

f : A      A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f memetakan setiap titik anggota A ke dirinya sendiri.

2. Fungsi Konstan

Misalkan f: A     B. Fungsi f disebut fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama. Jadi jika x elemen A, maka f(x) = c (konstan)

3. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut kompoosisi g dengan f, yang dinyatakan dengan g°f. Jadi (g°f)(x) = g(f(x))
Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g ≠g°f

Contoh soal:
Diketahui rumus f(x) = x-4 dan g(x)=2x-6
Tentukan (f°g)(x) = …?
Penjelasan: (f°g)(x) = f(g(x))
= f(2x-6)
= (2x-6) – 4
= 2x-10
Soal Fungsi Komposisi:

1. Jika f(x) = 2x + 6 dan g(x) = 2x² + 6x – 7 maka (f°g) (x) = …?
2. Jika f(x) =   dan g (x) = 2x+5 maka (g°f) (x) = …?
3. Jika g(x) = x + 1 dan f(x) = x²+3x+1 maka (f°g) (x) = …?

Jawab:

1. (f°g) (x) = f(g(x))

= f(2x² + 6x – 7)
= 2(2x² + 6x – 7) + 6
= 4x² + 12x – 14 + 6
= 4x² + 12x – 8

2. (g°f) (x) = g(f(x))

= g( )
= 2 () + 5
=  + 5()
=  +
=

3. (f°g) (x) = f(g(x))

= f(x + 1)
= (x + 1)² + 3(x + 1) + 1
= x² + 2x + 1 + 3x + 3 +1
= x² + 5x + 1 + 3x + 3 +1
Fungsi Invers pada kalkulus
Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum.
Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya.
Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang? Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya?
Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama untuk mencari differensial atau turunannya.  Karena hal ini, orang berusaha mencari cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers.
Hal ini akan memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers.
Di samping itu, selain mempermudah juga akan mempercepat dalam menentukan turunannya. Berangkat dari sini maka kami menyusun makalah ini untuk mengetahui bagaimana cara mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara yang lebih cepat dan efisien.

Pertemuan 4


1.3.5 Pertaksamaan linier dua peubah

Bentuk umum pertaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ; konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a ¹ 0. Tanda

(?)  adalah salah satu dari tanda <, >, £ atau ³ . Untuk membantu mahasiswa dalam menggambarkan grafik pertaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan prosedurnya.

1. Ganti tanda pertaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi bidang menjadi dua bagian.

2. Jika pada pertaksamaan menggunakan tanda £ atau ³ berarti garis tersebut termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau

>  berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus.

3.  Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan pernyataan yang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika substitusi menghasilkan pernyataan yang salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan

9

bidang yang dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (0,0) asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis.

Contoh 1.11

Gambarkan grafik pertaksamaan 3x – 2y ³ 8

Penyelesaian :

Langkah 1.

Ganti tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan ® 3x - 2y = 8

Langkah 2.

Gambarkan grafiknya.

3.   Memilih titik koordinat.

Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir.

Contoh 1.12

Gambarkan grafik pertaksamaan 5x + 3y < 6

Penyelesaian :

Langkah 1.

Ganti tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan ® 5x + 3y = 6

Langkah 2.

Gambarkan grafiknya.

Langkah 3

Memilih titik koordinat.

Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya arsir yang dicari tersebut.

              Soal-soal

Gambarkan grafik dari pertaksamaan-pertaksamaan berikut !

1. x + y < 3	2. y + 2x > 4
3. 4x – 5 y £ 6	4. 5y + 3x ³ 1

Sistem pertaksamaan linier

Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus diselesaikan secara serentak. Pertaksamaan-pertaksamaan tersebut dinamakan “sistem pertaksamaan linier”. Dalam pembahasan sistem per- taksamaan linier kita hanya akan membahas sistem pertaksamaan linier yang mempunyai tidak lebih dari peubah.

Langkah-langkah penyelesaian sistem pertaksamaan linier.

1.  Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan.

2.  Gambarkan grafiknya.

3.  Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari.

Contoh 1.13

Gambarkan grafik sistem pertaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y ³ -3

Penyelesaian :

Langkah 1.

2y + 3x = 5

x - y = -3

          Langkah 2.

   

Langkah 3.

Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0 kedalam sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir.

Contoh 1.14 (penerapan sistem pertaksamaan linier)

Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan yaitu jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100 juta/kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80 juta /kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan bentuk pertaksamaan dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian:

	Diesel	Bensin	Nilai batas
	(juta rupiah)	(juta rupiah)	(juta rupiah)
Biaya	Rp. 100.000.000,00	Rp. 80.000.000,00	Rp.10 milyar
Jumlah	x	y	120

100 juta . x + 80 juta . y £ 10.000 juta atau :100 x + 80 y £ 10.000 x + y £ 120

x ³ 0 ; y ³ 0

Pertemuan 3

Sistem Bilangan

1.3 Pertaksamaan

Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , £ atau ³ . Ditinjau

dari jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertaksamaan linier dengan satu peubah, pertaksamaan linier dengan peubah banyakdan pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan ril yang unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari pertaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut himpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B maka A Ì B. Jika A = B maka pertaksamaan dinamakan ketaksamaan.

Contoh 1.3

Dari pertaksamaan 1/x² >1

Himpunan pengganti atau B adalah {x Î R x ¹ 0}

Himpunan jawab atau A adalah {x Î R - 1 < x < 1,x ¹ 0}. Jadi A Ì B

Contoh 1.4

Dari pertaksamaan 1/x² >0

Himpunan pengganti atau B adalah {x çxÎR, x ¹ 0 }

Himpunan jawab atau A adalah {x çxÎR, x ¹ 0 }. Karena A = B, maka 1/x² >0 disebut ketaksamaan.

1.3.1 Sifat-sifat pertaksamaan

( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c

( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c

( iii ) Jika a > b, maka a - c > b – c

( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc 

( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c

( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c

( viii ) Jika a < b, maka a - c < b – c

( ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc

 ( x ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc

Sifat-sifat pertaksamaan lainnya :

( xi ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 

( xii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 

( xiii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 

( xiv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 

( xv ) Jika a > b, maka –a < -b

( xvi ) Jika 1/a < 1/b, maka a > b

( xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)

1.3.2 Selang ( interval )

Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat relasi tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril maka dinamakan selang hingga. Jika bukan bilangan ril maka dinamakan selang tak hingga (¥). Lambang

¥    menyatakan membesar tanpa batas dan lambang -¥ menyatakan mengecil tanpa batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.

  

1.3.3 Pertaksamaan linier satu peubah

Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, £ atau ³ . Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0, dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, £ atau ³ .

Bentuk umum

(ax+b c ? ) (0)

a dan b adalah bilangan ril

(?) adalah salah satu dari <, >, ≤ , atau ≥ .

Contoh 1.3

Selesaikan persamaan 7x+9  – 5

Penyelesaian
7x+9 < – 5

7x+9 ­– 9 < – 5 ­– 9

     7x < – 14

       x < – 2

7x+9 < – 5       •                        •  Semua ruas dikurang Sembilan

                         •                        • 7x9 9 < – 5 0

                                                     7x < (4 •      • x < – 2

Himpunan penyelesaian (x) x <  – 2

Contoh 1.4

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertaksamaan 3x – 2 ≥ 8 + 5x

Penyelesaian

3x – 2 ≥ 8 + 5x Pindahkan seluruh suku yang mengandung variable ke
                          ruas kiri, dan pindahkan konstanta ke ruas kanan.
3x 5 ≥ 8

– 2x ≥ 10 agar koefisien jadi satu, maka seluruh ruas harus dikalikan – ½
( – ½ (­– 2x) 2x (10x –12) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negative, maka
                                          tanda pertidaksmaan harus dibalik (Sifat pertidaksamaan x)
Didapat x ≤ – 5

Himpunan penyelesaian (x) x ≤ – 5

•                      •
        – 5

Selang Terbuka

Contoh 1.5
Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan


Penyelesaian

   •     • Kalikan semua rumus dengan 5

4 (5) <  (5) x (2x - 

20 -4 -2 x < 10x - 5 •     • Dipecah menjadi dua bagian, yaitu Jika -5

                                         (Sifat pertidaksamaan xvii)

20 < 4 -2x dan 4 2x <

2x < 4 20 •     • 2x < -16 x < 8

4-2x < 10x -5 •     • 2x -10 < -5-4

-12x -9 •     • 12x > 9 •     • x > 3/4

Jadi, Himpunan penyelesaian adalah ((x) < -8 atau x > 3/4)

•                       •

  -8            3/4

Selang Terbuka

1.3.4 Nilai Mutlak

            Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan (x)

Definisi

             x jika x ≥ 0

    x jika x  0

Teorema-teorema
Jika a dan b adalah bilangan ril, maka

i.  (x) < a •     • a < x a < 

ii. (x) < a •     • x < atau x > - a 

iii.(x) ≤ a •     • a ≤ x ≤ - a 

iv. (x) ≥ a •     • x ≥ atau x ≤ - a 

v.  (x) = a •     • x = a atau x = - a vi. (ab) = (a (b)

vi. (ab) = (a (b)

Bukti

| ab | =  | a | | b | (terbukti)

vii. 

Bukti

Contoh 1.6
Selesaikan pertidaksamaan | x – 5 | , ≤ 4, gambarkan garis bilangan dan selangnya!
Penyelesaian

| x –5 | ≤ 4 •     • 4 ≤ x –5 ≤ 4 (teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan,
yaitu :
x – 5 ≥ – 4 dan x –5 ≤ 4

Selanjutnya selesaikan satu per satu pertidaksamaan tersebut!

x – 5 ≥ 4 x ≥ – 4 + 5 x ≥ 1
x – 5 ≤ 4 x ≤ 4 + 5 x ≤ 9


Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah (x) ≤ x ≤ 9

•                 •
 1             9


Contoh 1.7
Selesaikanlah pertidaksamaan | x –7 | > 3, gambarkan garis bilangan dan selangnya!

Penyelesaian

| x –7 | 3 •     • 3 > x –7 > 3 (Teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, kita dapatkan dua buah pertaksamaan, yaitu
x –7 < – 3 dan 7 > 3
x –7 < – 3 •     • x < – 3 + 7 •     • x + < 4

x –7 3 •     • x 7 > 3 + 7 •     • + x 10

Jadi, Himpunan penyelesaian adalah

•                      •
  4              10