Pertemuan 4
1.3.5 Pertaksamaan linier dua peubah
1.3.5 Pertaksamaan linier dua peubah
Bentuk
umum pertaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ;
konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a ¹ 0.
Tanda
(?) adalah
salah satu dari tanda <, >, £ atau ³ . Untuk membantu mahasiswa dalam
menggambarkan grafik pertaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan
prosedurnya.
1. Ganti tanda pertaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya
gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan
melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi bidang menjadi
dua bagian.
2. Jika pada pertaksamaan menggunakan tanda £
atau ³ berarti garis tersebut termasuk pada grafik yang akan digambarkan.
Selanjutnya garis tersebut digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan
menggunakan tanda < atau
> berarti
garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya
garis tersebut digambarkan putus-putus.
3. Pilih
salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan
pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan pernyataan yang benar
berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dimaksud.
Sebaliknya jika substitusi menghasilkan pernyataan yang salah maka bidang
tempat kedudukan titik tersebut bukan
9
bidang yang dimaksud. Untuk keseragaman bidang
yang memenuhi pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita
memilih titik koordinat (0,0) asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui
oleh garis.
Contoh 1.11
Gambarkan
grafik pertaksamaan 3x – 2y ³ 8
Penyelesaian
:
Langkah
1.
Ganti
tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan ® 3x
- 2y = 8
Langkah
2.
Gambarkan
grafiknya.
3. Memilih
titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke
pertaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah.
Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang
dicari. Sehingga bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya
bidang tersebut diarsir.
Contoh 1.12
Gambarkan
grafik pertaksamaan 5x + 3y < 6
Penyelesaian
:
Langkah
1.
Ganti
tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan ® 5x + 3y = 6
Langkah
2.
Gambarkan
grafiknya.
Langkah
3
Memilih
titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke
pertaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar.
Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang
dicari. Sehingga bidang disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya
arsir yang dicari tersebut.
Gambarkan
grafik dari pertaksamaan-pertaksamaan berikut !
1.
x + y < 3
|
2. y + 2x > 4
|
3. 4x – 5 y £ 6
|
4.
5y + 3x ³ 1
|
Sistem pertaksamaan linier
Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang
harus diselesaikan secara serentak. Pertaksamaan-pertaksamaan tersebut
dinamakan “sistem pertaksamaan linier”. Dalam pembahasan sistem per- taksamaan
linier kita hanya akan membahas sistem pertaksamaan linier yang mempunyai tidak
lebih dari peubah.
Langkah-langkah
penyelesaian sistem pertaksamaan linier.
1. Ganti
semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan.
2. Gambarkan
grafiknya.
3. Periksa
salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang
benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari.
Contoh 1.13
Gambarkan
grafik sistem pertaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y ³ -3
Penyelesaian
:
Langkah
1.
2y +
3x = 5
x -
y = -3
Langkah
3.
Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan
y=0 kedalam sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar.
Berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari.
Selanjutnya bidang tersebut diarsir.
Contoh 1.14 (penerapan sistem
pertaksamaan linier)
Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan
yaitu jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah
Rp. 100 juta/kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80
juta /kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120
kendaraan setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut
tidak lebih dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan bentuk pertaksamaan dari
persoalan diatas dan gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
Diesel
|
Bensin
|
Nilai batas
|
|
(juta rupiah)
|
(juta rupiah)
|
(juta rupiah)
|
|
Biaya
|
Rp.
100.000.000,00
|
Rp. 80.000.000,00
|
Rp.10
milyar
|
Jumlah
|
x
|
y
|
120
|
100
juta . x + 80 juta . y £ 10.000 juta atau :100 x + 80 y £
10.000 x + y £ 120
x ³ 0 ;
y ³ 0
1. íìx + 3y £ 9
|
2. íìx + 2y ³ 4
|
ì3x + y £ 4
|
3. íïx - 2y ³ 4
|
||
îx - 2y > 6
|
îx - y < 3
|
ï
|
îx ³ 0
|
ì2x + y £ 8
4. ïíx + y £ 6
ïîx ³ 0 dan y ³ 0
5. Sebuah
industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah komputer yang
terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan biaya untuk
memproduksi sebuah PC adalah Rp. 4.000.000,00 sedangkan untuk memproduksi
Laptop adalah Rp. 6.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk memproduksi kedua
jenis komputer tersebut adalah Rp. 10 milyar rupiah tentukan sistem pertaksamaan
linier dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya !.
1.3.7 Pertaksamaan kuadrat
Bentuk
umum dari pertaksamaan kuadrat adalah : ax2 + bx + c (?) 0, dimana a, b dan c adalah
bilangan-bilangan ril dan a¹ 0 Sedangkan (?) adalah salah
satu
dari tanda <, >, £ , atau ³ . Penyelesaian dari pertaksamaan adalah
menentukan harga-harga peubah yang memenuhi pertaksamaan.
Contoh 1.15
|
||||||
Selesaikan
pertaksamaan x2
|
-
7x + 12 > 0
|
|||||
Penyelesaian
:
|
||||||
Lakukan pemaktoran
terhadap pertaksamaan :
|
||||||
x2 - 7x + 12 > 0
|
®
|
(x – 4)(x – 3) > 0
|
||||
Titik-titik
kritis adalah 3 dan 4
|
||||||
Grafik pertaksamaan :
|
||||||
x –
4
|
||||||
: - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + +
|
||||||
x –
3
|
:
- - - - - - - - 0 + + + + + + +
|
+ + + + + +
|
||||
- - - - - - - - -(x–4)(x–3):++++++0
|
0 + + + + + +
|
|||||
)
3
4
Gambar
1.16
13
Contoh 1.16
Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertaksamaan : 10 £ 2(x + 2)
x - 2
10
|
£
|
2(x
+
2) ®
|
10
|
£
|
2(x + 2)(x - 2)
|
10
|
£
|
2(x2
|
-
4)
|
|||||||||||||
®
|
||||||||||||||||||||||
x - 2
|
x - 2
|
x - 2
|
x - 2
|
x - 2
|
||||||||||||||||||
10
|
£
|
2x2 - 8
|
®
|
2x2 - 8 - 10
|
³ 0
|
®
|
2x2
|
- 18
|
³ 0
|
®
|
2(x2 - 9)
|
³ 0
|
||||||||||
x - 2
|
x - 2
|
x - 2
|
x - 2
|
x - 2
|
||||||||||||||||||
2(x - 3)(x + 3) ³ 0
x - 2
Titik-titik
kritis adalah -3, 2 dan 3
Grafik
pertaksamaan :
-
- - -
- - - - - - -
-
- - -
-
- - -
x –
3
|
:- - - -
|
- - - - - -
|
- - - - - - - -
|
- - - - -
|
0
+ + ++
|
|||||||
x
+ 3
|
:- - - -
|
-
- - - - 0 + + + + ++ + + + ++ + + +
|
||||||||||
x - 2
|
:
|
0 + + + + + + + +
|
||||||||||
| - - - - - - | ||||||||||||
2(x - 3)(x + 3)
|
:
|
0+++ +(-
|
¥ )
|
0 + + ++
|
||||||||
| - - - - - | ||||||||||||
x - 2
|
||||||||||||
-3
|
2
|
3
|
||||||||||
Gambar 1.17
|
||||||||||||
Himpunan
penyelesaiannya adalah : { x
|
- 3 £ x < 2 atau x ³ 3 }
|
|||||||||||
Soal-soal
|
||||||||||||
Selesaikan
pertaksamaan berikut dan tentukan selangnya !
|
||||||||||||
1.
|
(x
+ 2)(x – 3) > 0
|
5.
x2 + 4x - 5 < 0
|
||||||||||
2.
|
(x
- 4)(x + 5) < 0
|
6. x2
>5x – 6
|
||||||||||
3. x(x + 6)³ 0
|
7. 7x – 12 £ x2
|
|||||||||||
4.
|
(x
– 7)x £ 0
|
8.
x2 +
21 ³ 10x
|
||||||||||
1.4 Koordinat Kartesius
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antara satu
besaran dan besaran lainnya. Contohnya adalah untuk membeli sejumlah barang
kita harus mengeluarkan sejumlah uang, pengukuran temperatur pada suatu tabung
berhubungan dengan tekanan didalamnya dan masih banyak contoh lainnya lagi.
Contoh-contoh diatas adalah hubungan dua besaran yang akan menghasilkan
pasangan terurut bilangan ril. Jika pasangan terurut bilangan tersebut
disimbolkan dengan x (untuk bilangan pertama) dan y (untuk bilangan kedua) maka
kita dapat menuliskan pasangan bilangan terurut dengan (x,y). Setiap pasangan
terurut bilangan ril disebut titik dan dinyatakan dengan R. Sedangkan himpunan pasangan terurut
bilangan ril disebut bidang bilangan dan disimbolkan dengan R2 . Bidang bilangan dpt. Digambarkan dengan
bantuan koordinat Kartesius. Untuk menggambarkan koordinat
14
sumbu
y
x
0
sumbu
x
Gambar 1.18
Koordinat Kartesius
kartesius pertama-tama kita gambarkan dua buah garis yang saling tegak
lurus, seperti pada Gambar 1.18. Garis tegak lurus adalah sumbu y atau ordinat,
sedangkan garis horizontal disebut sumbu x atau absis. Titik potong kedua garis
tsb. adalah titik asal (origin) dan dilambangkan dengan 0. Sumbu x yang berada
disebelah kanan titik asal menunjukkan arah positif sedangkan disebelah kiri
adalah arah negatif. Sumbu y yang berada diatas titik asal adalah arah positif
sedangkan yang berada dibawahnya adalah arah negatif. Pasangan kedua sumbu x
dan y adalah koordinat Kartesius. Jika suatu pasangan terurut bilangan ril (x0 , y0 )
menunjukkan titik A (ditulis A (x0 , y 0 )),
maka
(x0 , y0 ) disebut koordinat titik A.Sebagai contoh
bila harga x0 =3 dan harga y0
= -4,
maka titik A dapat ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.19. y
x
A(3,-4)
Gambar
1.19
Titik
koordinat
Kuadran-kuadran
Bila kita perhatikan koornat Kartesius maka akan terlihat empat buah
bidang. Bidang-bidang tersebut disebut kuadran-kuadran yang terdiri dari
kuadran I, II, III dan IV. Pembagian dari kuadran-kuadran tersebut dapat
dilihat padda Gambar 1.20 dibawah ini.
y
kuadran II kuadran I
( - , + ) ( + , + )
x
kuadran
III kuadran IV
( - , - ) ( + , - )
Gambar 1.20
Kuadran-kuadran
pada
koordinat Kartesius
Soal-soal
Diketahui
koordinat-koordinat :
1. ( 2 , 3 ) 3. (
-5 , -6) 5. ( -3 , 7 )
2. ( 4 , -5 ) 4. (
-1 , 6 ) 6. ( -3,1)
15
Jika
sebuah partikel bergerak dari suatu titik P1 (x1 ,y1 ) ke titik P2 (x2 ,y2 )
maka
dikatakan bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan
sebesar Dx
dan Dy .
Sebagai contoh, bila suatu partikel bergerak dari titik A( 2,-3 ) ke B(-3 ,1)
B(-3,1)
Dy
y
Dx
x
A(2,-3)
Gambar 1.21
Gerak partikel dari titik A ke B
(lihat
Gambar 1.21) maka pertambahannya adalah :
Dx = x2 - x1 = -3 – 2 = -5
Dy =
y2 - y1 = 1 –(-3) = 4
Dari
contoh diatas dapat disimpulkan bahwa pertambahan pada suatu koordinat adalah
perubahan netto, yaitu :
ìDx = xtitik
akhir
|
- xtitik
awal
|
( 1.1 )
|
í
|
- ytitik
awal
|
|
îDy = ytitik
akhir
|
1.5.1 Jarak antara dua titik
Apabila sumbu-sumbu koordinat menggunakan satuan pengukuran yang sama
maka jarak antara dua buah titik pada suatu bidang tertentu dapat ditrntukan
dengan menggunakan kombinasi antara pertambahan-pertambahan koordinat dan
teorema Pythagoras, seperti yang ditunjukkan Gambar 1.22 berikut.
y
h
|
P2 (x2 ,y2 )
|
Dy
P1 (x1 ,y1 )
Dx
0 x
Tidak ada komentar:
Posting Komentar