Pertemuan 3

Sistem Bilangan

1.3 Pertaksamaan

Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , £ atau ³ . Ditinjau

dari jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertaksamaan linier dengan satu peubah, pertaksamaan linier dengan peubah banyakdan pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan ril yang unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari pertaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut himpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B maka A Ì B. Jika A = B maka pertaksamaan dinamakan ketaksamaan.

Contoh 1.3

Dari pertaksamaan 1/x² >1

Himpunan pengganti atau B adalah {x Î R x ¹ 0}

Himpunan jawab atau A adalah {x Î R - 1 < x < 1,x ¹ 0}. Jadi A Ì B

Contoh 1.4

Dari pertaksamaan 1/x² >0

Himpunan pengganti atau B adalah {x çxÎR, x ¹ 0 }

Himpunan jawab atau A adalah {x çxÎR, x ¹ 0 }. Karena A = B, maka 1/x² >0 disebut ketaksamaan.

1.3.1 Sifat-sifat pertaksamaan

( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c

( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c

( iii ) Jika a > b, maka a - c > b – c

( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc 

( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c

( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c

( viii ) Jika a < b, maka a - c < b – c

( ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc

 ( x ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc

Sifat-sifat pertaksamaan lainnya :

( xi ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 

( xii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 

( xiii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 

( xiv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 

( xv ) Jika a > b, maka –a < -b

( xvi ) Jika 1/a < 1/b, maka a > b

( xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)

1.3.2 Selang ( interval )

Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat relasi tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril maka dinamakan selang hingga. Jika bukan bilangan ril maka dinamakan selang tak hingga (¥). Lambang

¥    menyatakan membesar tanpa batas dan lambang -¥ menyatakan mengecil tanpa batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.

  

1.3.3 Pertaksamaan linier satu peubah

Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, £ atau ³ . Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0, dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, £ atau ³ .

Bentuk umum

(ax+b c ? ) (0)

a dan b adalah bilangan ril

(?) adalah salah satu dari <, >, ≤ , atau ≥ .

Contoh 1.3

Selesaikan persamaan 7x+9  – 5

Penyelesaian
7x+9 < – 5

7x+9 ­– 9 < – 5 ­– 9

     7x < – 14

       x < – 2

7x+9 < – 5       •                        •  Semua ruas dikurang Sembilan

                         •                        • 7x9 9 < – 5 0

                                                     7x < (4 •      • x < – 2

Himpunan penyelesaian (x) x <  – 2

Contoh 1.4

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertaksamaan 3x – 2 ≥ 8 + 5x

Penyelesaian

3x – 2 ≥ 8 + 5x Pindahkan seluruh suku yang mengandung variable ke
                          ruas kiri, dan pindahkan konstanta ke ruas kanan.
3x 5 ≥ 8

– 2x ≥ 10 agar koefisien jadi satu, maka seluruh ruas harus dikalikan – ½
( – ½ (­– 2x) 2x (10x –12) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negative, maka
                                          tanda pertidaksmaan harus dibalik (Sifat pertidaksamaan x)
Didapat x ≤ – 5

Himpunan penyelesaian (x) x ≤ – 5

•                      •
        – 5

Selang Terbuka

Contoh 1.5
Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan


Penyelesaian

   •     • Kalikan semua rumus dengan 5

4 (5) <  (5) x (2x - 

20 -4 -2 x < 10x - 5 •     • Dipecah menjadi dua bagian, yaitu Jika -5

                                         (Sifat pertidaksamaan xvii)

20 < 4 -2x dan 4 2x <

2x < 4 20 •     • 2x < -16 x < 8

4-2x < 10x -5 •     • 2x -10 < -5-4

-12x -9 •     • 12x > 9 •     • x > 3/4

Jadi, Himpunan penyelesaian adalah ((x) < -8 atau x > 3/4)

•                       •

  -8            3/4

Selang Terbuka

1.3.4 Nilai Mutlak

            Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan (x)

Definisi

             x jika x ≥ 0

    x jika x  0

Teorema-teorema
Jika a dan b adalah bilangan ril, maka

i.  (x) < a •     • a < x a < 

ii. (x) < a •     • x < atau x > - a 

iii.(x) ≤ a •     • a ≤ x ≤ - a 

iv. (x) ≥ a •     • x ≥ atau x ≤ - a 

v.  (x) = a •     • x = a atau x = - a vi. (ab) = (a (b)

vi. (ab) = (a (b)

Bukti

| ab | =  | a | | b | (terbukti)

vii. 

Bukti

Contoh 1.6
Selesaikan pertidaksamaan | x – 5 | , ≤ 4, gambarkan garis bilangan dan selangnya!
Penyelesaian

| x –5 | ≤ 4 •     • 4 ≤ x –5 ≤ 4 (teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan,
yaitu :
x – 5 ≥ – 4 dan x –5 ≤ 4

Selanjutnya selesaikan satu per satu pertidaksamaan tersebut!

x – 5 ≥ 4 x ≥ – 4 + 5 x ≥ 1
x – 5 ≤ 4 x ≤ 4 + 5 x ≤ 9


Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah (x) ≤ x ≤ 9

•                 •
 1             9


Contoh 1.7
Selesaikanlah pertidaksamaan | x –7 | > 3, gambarkan garis bilangan dan selangnya!

Penyelesaian

| x –7 | 3 •     • 3 > x –7 > 3 (Teorema iii)

Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, kita dapatkan dua buah pertaksamaan, yaitu
x –7 < – 3 dan 7 > 3
x –7 < – 3 •     • x < – 3 + 7 •     • x + < 4

x –7 3 •     • x 7 > 3 + 7 •     • + x 10

Jadi, Himpunan penyelesaian adalah

•                      •
  4              10